おはようございます!朝塾です。
先日、高校生の生徒さんと一緒に解いた問題。忘れたときに戻ってこられるように、ブログにも残します。
大人の脳トレにも最適だと思うので、高校生以上の皆さんもぜひ、挑戦してください。案外、中学受験を目指す6年生の方が解けちゃうかもしれないタイプの問題です。
問題は、こちら。
5桁の自然数2587X(にまんごせんはっぴゃくななじゅうエックス)が9の倍数であるとき、X(エックス)に入る数を求めよ。
初めに順当な方法で解きます。最後に中学受験生必見の裏技で解いたものを解説していきます。では、見て行きましょう。
①自然数をNとおくと、5桁の自然数は次のように表せます。
10000a+1000b+100c+10d+e
これを、9の倍数にしたいので、「9×(中身は数式)」で表せるように一工夫。
(9999+1)a+(999+1)b+(99+1)c+(9+1)d+e
10000を9999+1、1000を999+1、100を99+1、10を9+1のように、9と何かで表せるように工夫しました。これを、9×(かっこ)の形に整えます。
9(1111a+111b+11c+d)+a+b+c+d+e
このとき、「9×(かっこ)」の部分(前半部分)は絶対に9の倍数(だって、9がかかっているから)なので、もう考えなくてよくて、後半の「a+b+c+d+e」に注目します。
5桁の数字はわかっているので、2587xをaから順に当てはめると、
2+5+8+7+x=22+xが、9の倍数になればいいわけです。
xに数字を入れていって、9の倍数になるようにしていきましょう。
22+0=22…ちがうな
22+1=23…これも9の倍数じゃない
22+2=24…これも違う
22+3=25…まだ9の倍数にはならない
22+4=26…お、なんかいい感じだけど足りない。
22+5=27…これだ!!3×9=27だから、27は9の倍数だ。
22+6=28…行き過ぎた
22+7=29…さすがに
22+8=30…もう
22+9=31…ないかな。。。
ということで、正解は「5」です。
解説を挟みながらだったので、式だけ一気に書きます。
自然数をNとおく
N=10000a+1000b+100c+10d+e
=(9999+1)a+(999+1)b+(99+1)c+(9+1)d+e
=9999a+a+999b+b+99c+c+9d+d+e
=9(1111a+111b+11c+d)+a+b+c+d+e
9(1111a+111b+11c+d)は9の倍数である。
a+b+c+d+eにおいて、係数をそれぞれ代入する。
2+5+8+7+x=22+xが9の倍数となるxは、5(22+5=27)
よって解は、「5」である。
②ちなみに、中学受験生だったらこう解くかな。という裏技?を紹介。
9の倍数かどうかを探すのって、各位の和の数が9の倍数だったらOKなんです。だから、初めから2+5+8+7+x=22+xが9の倍数になるように探します。22に自然数を足していって9の倍数になるのは27だけなので、割と簡単に「5」が導けます。
さらにおまけでいうと、3の倍数の見つけ方も、各位の和の数が3の倍数だったらOKです。試しに好きな数でやってみてください。今日は2025年1月20日なので、2+0+2+5+1+2+0=12。よって今日は3の倍数です(笑)。
いかがでしたか?塾生の子たちは、迷ったときにいつでも解説を思い出せるように。ブログを読んでくださる皆様には脳トレとして、活用してもらえたら嬉しいです。