数学 5桁の自然数2587Xが9の倍数の時、Xはいくつか

おはようございます!朝塾です。

先日、高校生の生徒さんと一緒に解いた問題。忘れたときに戻ってこられるように、ブログにも残します。

大人の脳トレにも最適だと思うので、高校生以上の皆さんもぜひ、挑戦してください。案外、中学受験を目指す6年生の方が解けちゃうかもしれないタイプの問題です。

問題は、こちら。

5桁の自然数2587X(にまんごせんはっぴゃくななじゅうエックス)が9の倍数であるとき、X(エックス)に入る数を求めよ。

初めに順当な方法で解きます。最後に中学受験生必見の裏技で解いたものを解説していきます。では、見て行きましょう。

①自然数をNとおくと、5桁の自然数は次のように表せます。

10000a+1000b+100c+10d+e

これを、9の倍数にしたいので、「9×(中身は数式)」で表せるように一工夫。

(9999+1)a+(999+1)b+(99+1)c+(9+1)d+e

10000を9999+1、1000を999+1、100を99+1、10を9+1のように、9と何かで表せるように工夫しました。これを、9×(かっこ)の形に整えます。

9(1111a+111b+11c+d)+a+b+c+d+e

このとき、「9×(かっこ)」の部分(前半部分)は絶対に9の倍数(だって、9がかかっているから)なので、もう考えなくてよくて、後半の「a+b+c+d+e」に注目します。

5桁の数字はわかっているので、2587xをaから順に当てはめると、

2+5+8+7+x=22+xが、9の倍数になればいいわけです。

xに数字を入れていって、9の倍数になるようにしていきましょう。

22+0=22…ちがうな

22+1=23…これも9の倍数じゃない

22+2=24…これも違う

22+3=25…まだ9の倍数にはならない

22+4=26…お、なんかいい感じだけど足りない。

22+5=27…これだ!!3×9=27だから、27は9の倍数だ。

22+6=28…行き過ぎた

22+7=29…さすがに

22+8=30…もう

22+9=31…ないかな。。。

ということで、正解は「5」です。

解説を挟みながらだったので、式だけ一気に書きます。

自然数をNとおく

N=10000a+1000b+100c+10d+e

=(9999+1)a+(999+1)b+(99+1)c+(9+1)d+e

=9999a+a+999b+b+99c+c+9d+d+e

=9(1111a+111b+11c+d)+a+b+c+d+e

9(1111a+111b+11c+d)は9の倍数である。

a+b+c+d+eにおいて、係数をそれぞれ代入する。

2+5+8+7+x=22+xが9の倍数となるxは、5(22+5=27)

よって解は、「5」である。

②ちなみに、中学受験生だったらこう解くかな。という裏技?を紹介。

9の倍数かどうかを探すのって、各位の和の数が9の倍数だったらOKなんです。だから、初めから2+5+8+7+x=22+xが9の倍数になるように探します。22に自然数を足していって9の倍数になるのは27だけなので、割と簡単に「5」が導けます。

さらにおまけでいうと、3の倍数の見つけ方も、各位の和の数が3の倍数だったらOKです。試しに好きな数でやってみてください。今日は2025年1月20日なので、2+0+2+5+1+2+0=12。よって今日は3の倍数です(笑)。

いかがでしたか?塾生の子たちは、迷ったときにいつでも解説を思い出せるように。ブログを読んでくださる皆様には脳トレとして、活用してもらえたら嬉しいです。





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